একটি কাল্পনিক রকেট কত গতিতে চালালে এর চলমান দৈর্ঘ্য স্থির অবস্থার দৈর্ঘ্যের এক-চতুর্থাংশ হবে?

আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব (Special Theory of Relativity) অনুযায়ী, কোনো বস্তু আলোর গতির (Speed of light) কাছাকাছি বেগে চললে এর দৈর্ঘ্য সংকুচিত হয়। এই ঘটনাকে দৈর্ঘ্য সংকোচন (Length Contraction) বলা হয়।

দৈর্ঘ্য সংকোচনের সূত্রটি হলো:

\(L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

যেখানে,

    
• \(L\) = চলমান দৈর্ঘ্য (Contracted length)
    
• \(L_0\) = স্থির অবস্থার দৈর্ঘ্য (Proper length or Rest length)
    
• \(v\) = বস্তুর গতি (Velocity of the object)
    
• \(c\) = আলোর গতি (Speed of light), যার মান প্রায় \(3 \times 10^8 \, ms^{-1}\)

প্রশ্নানুযায়ী, রকেটের চলমান দৈর্ঘ্য স্থির অবস্থার দৈর্ঘ্যের এক-চতুর্থাংশ হবে। অর্থাৎ,

\(L = \frac{L_0}{4}\)

এখন, সূত্রে মান বসিয়ে পাই:

\(\frac{L_0}{4} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

উভয় পক্ষকে \(L_0\) দ্বারা ভাগ করে পাই:

\(\frac{1}{4} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\((\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}\)

\(\frac{1}{16} = 1 - \frac{v^2}{c^2}\)

এখন \(\frac{v^2}{c^2}\) কে একপাশে নিয়ে পাই:

\(\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{16}\)

\(\frac{v^2}{c^2} = \frac{16 - 1}{16}\)

\(\frac{v^2}{c^2} = \frac{15}{16}\)

উভয় পক্ষের বর্গমূল (square root) করে পাই:

\(\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{15}{16}}\)

\(\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{15}}{4}\)

এখন, \(v\) এর মান নির্ণয় করি:

\(v = \frac{\sqrt{15}}{4} \times c\)

\(v \approx \frac{3.873}{4} \times 3 \times 10^8 \, ms^{-1}\)

\(v \approx 0.96825 \times 3 \times 10^8 \, ms^{-1}\)

\(v \approx 2.90475 \times 10^8 \, ms^{-1}\)

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, \(2.9 \times 10^8 \, ms^{-1}\) এই মানের সবচেয়ে কাছাকাছি।